Question:একটি আয়তকার চেীবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার, প্রস্থ ৪ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার। উক্ত চেীবাচ্চাটি পানিভর্তি থাকলে পানির আয়তন কত লিটার এবং ওজন কত কিলোগ্রাম হবে? 

দেওয়া আছে, 

 চেীবাচ্চার দৈর্ঘ্য  = ৫.৫ মিটার

     = `৫.৫ xx ১০০` সে.মি

      [;. ১ লিটার = ১০০ সে.মি]

    = ৫৫০ সে.মি.

  চেীবাচ্চার প্রস্থ = ৪ মিটার

    =` ৪ xx ১০০` সে.মি

    = ৪০০ সে.মি


  চেীবাচ্চার উচ্চতা = ২ মিটার

        = `২ xx ১০০` সে.মি

        = ২০০ সে.মি

  চেীবাচ্চার আয়তন

   = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ `xx` উচ্চতা

   = ৫৫০ সে.মি `xx` ৪০০ সে.মি `xx` ২০০ সে.মি

   = ৪৪০০০০০০ ঘন সে.মি.

   = `(৪৪০০০০০০)/(১০০০)` লিটার [;. ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি]

   = ৪৪০০০ লিটার

    আবার, ১ লিটার পানির ওজন ১ কিলোগ্রাম

    :. ৪৪০০০ লিটার পানির ওজন `(১ xx ৪৪০০০)` কিলোগ্রাম

      = ৪৪০০০ কিলোগ্রাম।

    :. চেীবাচ্চার পানির আয়তন ৪৪০০০ লিটার এবং পানির ওজন ৪৪০০০ কিলোগ্রাম।

    উত্তর: ৪৪০০০ লিটার এবং ৪৪০০০ কিলোগ্রাম।

Question:আয়তকার একটি ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১.৯০ টাকা দরে ঘাস লাগাতে ১০২৬০.০০ টাকা ব্যয় হয়। প্রতি মিটার ২.৫০ টাকা দরে ঐ মাঠের চারদিকে বেড়া দিতে মোট কত ব্যয় হবে? 

মনে করি,

 আয়তকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার

 :.   ,,       ,,       ,,   দৈর্ঘ্য = ১.৫ মিটার

                    = `(১৫x)/(১০)` ,,

                    = `(৩x)/২`  ,,

  আয়তকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ

                 = `(৩x^২)/২ xx x` বর্গমিটার

                 = `(৩x^২)/২` বর্গমিটার

 আবার,

   ১.৯০ টাকা খরচ হয়, ১ বর্গমিটার ঘাস লাগাতে

  :. ১ টাকা খরচ হয়, `১/(১.৯০)`  বর্গমিটার ঘাস লাগাতে

   ১০২৬.০০  টাকা খরচ হয়, `(১ xx ১০২৬০.০০)/(১.৯০)` বর্গমিটার ঘাস লাগাতে

                   = ৫৪০০ বর্গমিটার ঘাস লাগাতে

   :. ক্ষেত্রফলটির ক্ষেত্রফল ৫৪০০ বর্গমিটার

  শর্তমতে,
      
     `(৩x^২)/২` = ৫৪০০

     ` ৩x^২` = ১০৮০০

     `x^২`   =` (১০৮০০)/৩`

      `x^২`  = ৩৬০০

      `x   = sqrt(৩৬০০)`

     :. x = ৬০

   :. ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ৬০ মিটার

   এবং   ,,     দৈর্ঘ্য  = `(৩ xx ৬০)/২` মিটার

                        = ৯০ মিটার

  :. আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

                              = ২ (৯০ + ৬০) মিটার

                              = `২ xx ১৫০` মিটার

                              = ৩০০ মিটার

  প্রতি মিটার বেড়া দিতে ব্যয় হয় ২.৫০ টাকা

  :. ৩০০ মিটার বেড়া দিতে ব্যয় হয়` ৩০০ xx ২.৫০` টাকা।

                   = ৭৫০ টাকা।

  ;. মাঠের চারদিকে বেড়া দিতে ব্যয় হয় ৭৫০ টাকা।

   উত্তর: ৭৫০ টাকা।

Question:একটি ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৭২০০ টাকা খরচ হয়। ঘরটির প্রস্থ ৩ মিটার কম হলে ৫৭৬ টাকা কম খরচ হতো। ঘরটির প্রস্থ কত? 

মনে করি,

   ঘরের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার

    :. ঘরের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার

     xy বর্গমিটার কার্পেট দিয়ে ঢাকতে খরচ হয় ৭২০০ টাকা

    :. প্রতি বর্গমিটার কার্পেট দিয়ে ঢাকতে খরচ হয় `(৭২০০)/(xy)`  টাকা

    আবার, প্রস্থ ৩ মি. কম হলে ঘরটির প্রস্থ হতো (y - ৩) মি.

    তখন ক্ষেত্রফল হতো x(y - ৩) বর্গমিটার

    প্রস্থ ৩ মিটার কম হলে খরচ  হতো ৫৭৬ টাকা

    প্রস্থ ৩ মিটার কম হলে খরচ হতো

              (৭২০০ - ৫৭৬) টাকা

            = ৬৬২৪ টাকা।

    সুতরাং x(y - ৩) বর্গমিটার কার্পেট দিয়ে ঢাকতে খরচ হয় ৬৬২৪ টাকা।

    :. প্রতি বর্গ মিটার কার্পেট দিয়ে ঢাকতে খরচ হয়` (৬৬২৪)/(x(y - ৩)` টাকা

     শর্তমতে, `(৭২০০)/(xy) = (৬৬২৪)/(x(y - ৩)`

      বা, `(৭২০০)/y = (৬৬২৪)/(y - ৩)`

                  [উভয় পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে। এখানে `x !=  0`]

      বা, ৭২০০y - ২১৬০০ = ৬৬২৪y

      বা, ৭২০০y - ৬৬২৪y = ২১৬০০

      বা, ৫৭৬y = ২১৬০০

     বা, y = `(২১৬০০)/(৫৭৬)`

       :. y = ৩৭.৫

     :. ঘরের প্রস্থ ৩৭.৫ মিটার।

     উত্তর: ৩৭.৫ মিটার।

Question:৮০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ৬০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তকার বাগানের ভিতর চারদিকে ৪ মিটার প্রশস্থ একটি পথ আছে। প্রতি বর্গমিটার ৭.২৫ টাকা দরে ঐ পথ বাঁধানোর খরচ কত? 

দেওয়া আছে, বাগানের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার

 এবং বাগানের প্রস্থ ৬০ মিটার

:. বাগানের ক্ষেত্রফল = `(৮০ xx ৬০)` বর্গমিটার

                     = ৪৮০০ বর্গমিটার

 বাগানের ভিতর চারদিকে ৪ মিটার প্রশস্থ একটি রাস্তা আছে।

 :. রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = `(৮০ - ৪ xx ২)` মি.

                              = (৮০ - ৮) মিটার

                              = ৭২ মিটার

 রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = `(৬০ - ৪ xx ২)` মি.

                         = (৬০ - ৮) মিটার

                         = ৫২ মিটার

 :. রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল

 = `(৭২ xx ৫২)` বর্গমিটার = ৩৭৪৪ বর্গমিটার

  :. রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৮০০ - ৩৭৪৪) ব.মি.

                    = ১০৫৬ বর্গমিটার।

 প্রতি বর্গমিটার পথ বাঁধানো খরচ হয় ৭.২৫ টাকা

 :. ১০৫৬ বর্গমিটার পথ বাঁধানো খরচ হয় `(১০৫৬ xx ৭.২৫)`’’  টাকা

                          = ৭৬৫৬ টাকা।

 :. পথটি বাঁধানো খরচ হয় ৭৬৫৬ টাকা।

  উত্তর: ৭৬৫৬ টাকা।

Question:২.৫ মিটার গভীর একটি বর্গাকৃতি খোলা চেীবাচ্চায় ২৮.৯০০ লিটার পানি ধরে। এর ভিতরের দিকে সীসার পাত লাগাতে প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা হিসাবে মোট কত খরচ হবে? 

মনে করি, বর্গাকৃতি চেীবাচ্চাটির তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি

:. বর্গাকৃতি চেীবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল `a^2` বর্গ সে.মি

 দেওয়া আছে, চেীবাচ্চাটির গভীরতা ২.৫ মিটার

   = `(২.৫ xx ১০০)` সে.মি

   = ২৫০ সে.মি

  :. চেীবাচ্চাটির ভিতরের আয়তন = `(২৫০ xx a^২ )`

  ঘন সে.মি  = ২৫০ ঘন সে.মি

 আবার চেীবাচ্চাটিতে পানি ধরে ২৮৯০০ লিটার

 সুতরাং চেীবাচ্চার ভিতরের আয়তন

 = `(২৮৯০০ xx ১০০০)` ঘন সে.মি

            [১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি]

 = ২৮৯০০০০০ ঘন সে.মি

 শর্তমতে, `২৫০a^২`= ২৮৯০০০০০

 বা, `a^২  = (২৮৯০০০০০)/(২৫০)`

  বা, `a^২  = ১১৫৬০০`

   বা, a =` sqrt(১১৫৬০০)`

   :. a = ৩৪০

  :. বর্গাকার চেীবাচ্চার ভিতরের প্রতিটি তলের বাহুর 

   দৈর্ঘ্য = ৩৪০ সে.মি

   =` (৩৪০)/(১০০)` মিটার = ৩.৪ মিটার

  :. চেীবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল = (৩.৪) বর্গমিটার

       = ১১.৫৬ বর্গমিটার

 এবং চেীবাচ্চার পাশের প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল

  =` (৩.৪ xx ২.৫)` বর্গমিটার

  = ৮.৫ বর্গমিটার

 সুতরাং চেীবাচ্চার ভিতরের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

  = `(১১.৫৬ + ৪ xx ৮.৫)` বর্গমিটার

  = ৪৫.৫৬ বর্গমিটার

  প্রতি বর্গমিটার সীমার পাত লাগাতে খরচ হয় ১২.৫০ টাকা

 :. ৪৫.৫৬  বর্গমিটার সীমার পাত লাগাতে খরচ হয় `(১২.৫০ xx ৪৫.৫৬)` টাকা

    = ৫৬৯.৫০ টাকা।

  :. চেীবাচ্চাটির ভিতরের সীসার পাত লাগাতে খরচ হয় ৫৬৯.৫০ টাকা।

   উত্তর: ৫৬৯.৫০ টাকা।

Question:একটি ঘরের মেঝে ২৬ মিটার লম্বা ও ২০ মিটার চওড়া। ৪ মিটার লম্বা ও ২.৫ মিটার চওড়া কয়টি মাদুর ‍দিয়ে মেঝেটি সম্পৃন্ন ঢাকা যাবে? প্রতিটি মাদুরের দাম ২৭.৫০ টাকা হলে, মোট খরচ কত হবে? 

দেওয়া আছে,

 ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ২৬ মিটার

 এবং ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ

                     =` (২৬ xx ২০)` বর্গমিটার

                     = ৫২০ বর্গমিটার।

 আবার, প্রতিটি মাদুরের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার

 এবং প্রতিটি মাদুরের প্রস্থ ২.৫ মিটার

 :. প্রতিটি মাদুরের ক্ষেত্রফল `(৪ xx ২.৫)` বর্গমিটার

                     = ১০ বর্গমিটার।

 :. ঘরের মেঝে ঢাকাতে মাদুর লাগবে `(৫২০)/(১০)` টি।

                        = ৫২ টি।

 প্রতিটি মাদুরের দাম ২৭.৫০ টাকা।

 :. ৫২টি মাদুরের দাম `(২৭.৫০ xx ৫২)` টাকা

                     = ১৪৩০ টাকা।

:. মাদুর লাগবে ৫২টি এবং খরচ হবে ১৪৩০ টাকা।

  উত্তর: ৫২টি এবং ১৪৩০ টাকা।

Question:একটি বইয়ের দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. ও প্রস্থ ১৮ সে.মি। বইটির পৃষ্টা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতা কাগজের পুরুত্ব ০.১ মি.মি হলে বইটির আয়তন নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, বইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি

 বইয়ের প্রস্থ    = ১৮ সে.মি

 বইটির পৃষ্টা সংখ্যা = ২০০

:. বইটির পাতার সংখ্যা = `(২০০)/২`

                         = ১০০

 প্রতিটি পাতার গুরুত্ব = ০. ১ মি.মি

           = `(০.১)/(১০)` সে.মি

                [:. ১০ মি.মি = ১ সে.মি]

           = ০.০১ সে.মি

 :. বইয়ের পুরুত্ব =` ০.১  xx ১০০` মি.মি

                   = ১ সে.মি

 :. বইয়ের আয়তন

    = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ `xx` গুরুত্ব

    = ২৫ সে.মি `xx` ১৮ সে.মি `xx` ১ সে.মি

    = ৪৫০ ঘন সে.মি.

    :. বইয়ের আয়তন ৪৫০ ঘন সে.মি।

   উত্তর: ৪৫০ ঘন সে.মি।

Question:একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার, প্রস্থ ২০ মিটার এবং পুকুরের পানির গভীরতা ৩ মিটার। একটি মেশিন দ্বারা পুকুরটি পানি শূন্য করা হচ্ছে যা প্রতি সেকেন্ডে ০.১ ঘনমিটার পানি সেচতে পারে। পুকুরটি পানি শূন্য করতে কত সময় লাগবে? 

দেওয়া আছে,

  পুকুরের দৈর্ঘ্য  = ৩২ মিটার।

  পুকুরের প্রস্থ    = ২০ মিটার।

  এবং পানির গভীরতা  = ৩ মিটার

 :. পুকুরের আয়তন =`(৩২ xx ২০ xx ৩)` ঘন মিটার

                     = ১৯২০ ঘন মিটার

 সুতরাং পুকুরের পানির আয়তন ১৯২০ মিটার

 আবার, ০.১ ঘন মিটার পানি সেচতে সময় লাগে ১ সেকেন্ড

 :. ১ ঘন মিটার পানি সেচতে সময় লাগে` ১/(০.১)`  সেকেন্ড

 :. ১৯২০  ঘন মিটার পানি সেচতে সময় লাগে `(১ xx ১৯২০)/(০.১)` 

                  = ১৯২০০ সেকেন্ড

                  = `(১৯২০০)/(৬০)` মিনিট

                  = ৩২০ মিনিট

                        [:. ১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট = ৫ ঘন্টা ২০ মিনিট]

  পুকুরটি পানি শূন্য করতে সময় লাগে ৫ ঘন্টা ২০ মিনিট।

   উত্তর: ৫ ঘন্টা ২০ মিনিট।

Question:৩ মিটার দৈর্ঘ্য, ২ মিটার প্রস্থ ও ১ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট একটি খালি চেীবাচ্চায় ৫০ সে.মি. বাহুুবিশিষ্ট একটি নিরেট ধাতব ঘনক রাখা আছে। চেীবাচ্চাটি পানি দ্বারা পূর্ণ করার পর ঘনকটি তুলে আনা হলে পানির গভীরতা কত হবে? 

দেওয়া আছে,

  চেীবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি

   প্রস্থ = ২ মিটার  = ২০০ সে.মি

   এবং উচ্চতা ১ মিটার = ১০০ সে.মি

   :. চেীবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ `xx` উচ্চতা

            = `(৩০০ xx ২০০ xx ১০০)` ঘন সে.মি

            = ৬০০০০০০ ঘন সে.মি

            :. ঘনক সহ চেীবাচ্চার পানির আয়তন

            = ৬০০০০০০ ঘন সে.মি

  আবার, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি

  :. ঘনকের আয়তন = `(৫০)^৩` ঘন সে.মি

        = ১২৫০০০ ঘন সে.মি

  :. চেীবাচ্চাটি পানি পূর্ন করার পর ঘনকটি তুলে আনলে চেীবাচ্চার পানির আয়তন হবে

      (৬০০০০০০ - ১২৫০০০) ঘন সে.মি

      = ৫৮৭৫০০০ ঘন সে.মি

     মনে করি, ঘনকটি তুলে আনার পর পানির গভীরতা হবে সে.মি.

     :. ঘনকটি তুলে আনার পর পানির আয়তন

     = `(৩০০ xx ২০০ xx h )` ঘন সে.মি

     = ৬০০০০h ঘন সে.মি

   শর্তমতে, ৬০০০০h = ৫৮৭৫০০০

    h  = `(৫৮৭৫০০০)/(৬০০০০)`

    :. h = ৯৭.৯২ (প্রায়)

   :. পানির গভীরতা হবে ৯৭.৯২ সে.মি (প্রায়)

    উত্তর: ৯৭.৯২ সে.মি (প্রায়)

Question:একটি ঘরের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের `২/৩` অংশ। ঘরের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৪ মিটার। মেঝের চারিদিকে ১ মিটার ফাকা রেখে ৫০ সে.মি বর্গাকার পাথর বসানো হলো। বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী।

  (ক) ঘরের পরিসীমা নির্ণয় কর।

   (খ) কতটি পাথরের প্রয়োজন হবে?

   (গ) ঘরটিতে কত কিলোগ্রাম বায়ু আছে? 

ক. দেওয়া আছে,

  ঘরের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার

 এবং ঘরের উচ্চতা ৪ মিটার

 :. ঘরের প্রস্থ = `(২/৩  xx ১৫)` মিটার

             = ১০ মিটার

:. ঘরের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

              = ২ (১৫ + ১০) মিটার

              = `২  xx ২৫` মিটার

              = ৫০ মিটার

  উত্তর: ৫০ মিটার।


 খ. ‘ক’ হতে পাই

  ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার

  এবং ঘরের মেঝের প্রস্থ ১০ মিটার

  ফাঁকা স্থান বাদে মেঝের দৈর্ঘ্য = `(১৫ - ২ xx ১)` মি.

                             = ১৩ মিটার

 ফাঁকা স্থান বাদে মেঝের প্রস্থ = `(১০ - ২ xx ১)` মি.

                              = ৮ মিটার

 ফাঁকা স্থান বাদে মেঝের ক্ষেত্রফল `(১৩ xx ৮)` বর্গমিটার

                          = ১০৪ বর্গমিটার

 বর্গাকার পাথরের দৈর্ঘ্য ৫০ সে.মি

       = `(৫০)/(১০০)` মি.

       = ০.৫ মি.

  :. বর্গাকার পাথরের ক্ষেত্রফল = (০.৫) বর্গমিটার

                = ০.২৫ বর্গ মিটার

 :. প্রয়োজনীয় পাথরের সংখ্যা = `(১০৪ -: ০.২৫)` টি

                               = ৪১৬টি

 উত্তর: ৪১৬টি।


 গ. ‘ক’ থেকে পাই,

  ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৫ মি.

  ঘরের প্রস্থ   = ১০ মি.

  ঘরের উচ্চতা  = ৪ মি.

  :. ঘরের আয়তন = দৈর্ঘ্য `xx` প্রস্থ `xx` উচ্চতা

        = ১৫ মি. `xx` ১০ মি. `xx` ৪ মি

        = ৬০০ ঘন মিটার

        =` ৬০০ xx ১০০০০০০` ঘন সে.মি

        = ৬০০০০০০০০ ঘন সে.মি

     বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ ভারী গুণ।

    :. ১ ঘন সে.মি বায়ুর ওজন = ০.০০১২৯ গ্রাম।

    অতএব, ঘরটিতে বায়ুর পরিমাণ

    = `৬০০০০০০০০ xx ০.০০১২৯` গ্রাম

    = ৭৭৪০০০ গ্রাম

    = ৭৭৪ কিলোগ্রাম

   উত্তর: ৭৭৪ কিলোগ্রাম।