বীজগণিতিক রাশি, গণিত - নবম-দশম শ্রেণি

বীজগণিতিক রাশি

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর:

  3x - 4y 
Answerপ্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (3x - 4y)^3`

 `= (3x)^3 - 3.(3x)^2.4y + 3.3x.(4y)^2 - (4y)^3`

 `= 27x^3 - 3.9x^2.4y + 3.3x. 16y^2 - 64y^3`

 `= 27x^3 - 108x^2y + 144xy^2 - 64y^2`

Report

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর:

     397 
Answerপ্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (397)^3 = (400 - 3)^3`

 `= (400)^3 - 3. (400)^2.3 + 3.400.(3)^2 - (3)^3`

 `= 64000000 - 3.160000.3 + 3.400.9 - 27`

 `= 64000000 - 1440000 + 10800 - 27`

 `= 62570773`  (Ans)

Report

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর।

১.ক. 2x + 5

  খ. `2x^2 + 3y^2`

  গ. `4a - 5x^2`

  ঘ.  `7m^2 - 2n`

  ঙ. `403

  চ. `998`

  ছ. `2a - b - 3c`

  জ. `2x + 3y + z` 
Answerক. প্রদত্ত রাশির ঘন

 `= (2x + 5)^3`

 `= (2x)^3 + 3.(2x)^2.5 + 3.2x.(5)^2 + (5)^3`

 `= 8x^3 + 3.4x^2.5 + 3.2x.25 + 125`

 `= 8x^3 + 60x^2 + 150x + 125`

 খ. প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (2x^2 + 3y^2)^3`

 `= (2x^2)^3 + 3.(2x^2)^2.3y^2 + 3.2x^2. (3y^2)^2 + (3y^2)^3`

 `= 8x^6 + 3.4x^4.3y^2 + 3.2x^2.9y^4 + 27y^6`

 `= 8x^6 + 36x^4y^2 + 54x^2y^4 + 27y^6`

  গ. প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `=  (4a - 5x^2)^3`

 `= (4a)^3 - 3. (4a)^2. 5x^2 + 3. 4a. (5x^2)^2 - (5x^2)^3`

 `= 64a^3 - 3.16a^2.5x^2 + 3.4a.25x^4 - 125x^6`

 `= 64a^3 - 240a^2x^2 + 300ax^4 - 125x^6`

 ঘ. প্রদত্ত রাশির ঘন 
  
  `= 7m^2 - 2n`

  `= (7m^2)^3 - 3.(7m^2)^2.2n + 3.7m^2.(2n)^2 - (2n)^3`

  `= 343m^6 - 3.4m^4.2m + 3.7m^2.4n^2 - 8n^3`

  `= 343m^6 - 294m^4n + 84m^2n^2 - 8n^3`

  ঙ. প্রদত্ত রাশির ঘন 

   `= (403)^3`

   `= (400 + 3)^3`

   `= (400)^3 + 3. (400)^2. 3 + 3.400. (3)^2 + (3)^3`

   `= 64000000 + 9.160000 + 27.400 + 27`

   `= 64000000 + 1440000 + 10800 + 27`

   `= 65450827`

 চ. প্রদত্ত রাশির ঘন 

   `= (998)^3`

   `= (1000 - 2)^3`

  ` = (1000)^3 - 3.(1000)^2. 2 + 3.1000. (2)^2 - (2)^3`

   `= 1000000000 - 3.1000000.2 + 3.1000.4 - 8`

   `= 1000000000 - 6000000 + 12000 - 8`

   `= 994011992`

 ছ. প্রদত্ত রাশির বর্গ 

 `= (2a - b - 3c)^3`

 `= {(2a - b) - 3c}^3`

 `= (2a - b)^3 - 3.(2a - b)^2.3c + 3.(2a - b) (3c)^2 - (3c)^3`

 `= {(2a)^3 - 3.(2a)^2.b + 3.2a.b^2 - (b)^3}`

           `- 3{(2a)^2 - 2.2a.b + b^2}. 3c + 3. (2a - b). 9c^2 - 27c^3`

 `= 8a^3 - 3.4a^2.b + 6ab^2 - b^3 - 9c (4a^2 - 4ab + b^2)`

                    `+ 27c^2. (2a - b) - 27c^3`

 `= 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3 - 36a^2c + 36abc - 9b^2c`

                                 `+ 54ac^2 - 27bc^2 - 27c^3`

`= 8a^3 - b^3 - 27c^3 - 12a^2b - 36a^2c + 6ab^2 + 54ac^2`

                         `- 9b^2c - 27bc^2 + 36abc`  (Ans)

  জ. প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (2x + 3y + z)^3`

 `= {2x + (3y + z)}^3`

 `= (2x)^3 + 3. 4x^2. (3y + z) + 3. 2x. (3y + z)^2 + (3y + z)^3`

 `= 8x^3 + 3.4x^2. (3y + z) + 6x{(3y)^2 + 2. 3y. z + z^2}`

                `+ {(3y)^3 + 3. (3y)^2. z + 3. 3y. (z)^2 + z^3}`

 `= 8x^3 + 12x^2 (3y + z) + 6x (9y^2 + 6yz + z^2)`

             `+ (27y^3 + 3.9y^2. z + 3. 3y. z^2 + z^3)`

 `= 8x^3 + 36x^2y + 12x^2z + 54xy^2 + 36xyz + 6xz^2 + 27y^3`

                                       `+ 27y^2z + 9yz^2 + z^3`

Report

Question:সরল কর:

 ক. `(4a - 3b)^3 - 3(4a - 3b)^2 (2a - 3b) + 3(4a - 3b)`

       ` (2a - 3b)^2 - (2a - 3b)^3`

 খ. `(2x + y)^3 + 3(2x + y)^2 (2x - y) + 3(2x + y) (2x - y)^2 + (2x - y)^3`

 গ. `(7x + 3b)^3 - (5x + 3b)^3 - 6x(7x + 3b) (5x + 3b)`

 ঘ. `(x - 15)^3 + (16 - x)^3 + 3(x  - 15) (16 - x)`

 ঙ. `(a + b + c)^3 - (a - b - c)^3 - 6(b + c) {a^2 - (b + c)^2}`

 চ. `(m + n)^6 - (m - n)^6 - 12mn(m^2 - n^2)^2`

 ছ. `(x + y) (x^2 - xy + y^2) + (y + z) (y^2 - yz + z^2) + (z + x)`

     ` (z^2 - zx + x^2)`

 জ. `(2x + 3y - 4z)^3 + (2x - 3y + 4z)^3 + 12x{4x^2 - (3y - 4z)^2}` 
Answerক. `(4a - 3b)^3 - 3(4a - 3b)^2 (2a - 3b) + 3(4a - 3b)`

                                   `(2a - 3b)^2 - (2a - 3b)^3`

   মনে করি, 4a - 3b = x  এবং 2a - 3b = y

 :. প্রদত্ত রাশি  

  `= x^3 - 3x^2y^2 + 3xy^2 - y^3`

  `= (x - y)^3`

  `= {(4a - 3b) - (2a - 3b)}^3`

                  [x এবং y এর মান বসিয়ে]

  `= (4a - 3b - 2a + 3b)^3`

  `= (2a)^3`

  `= 8a^3`

  খ. `(2x + y)^3 + 3(2x + y)^2 (2x - y) + 3(2x + y) (2x - y)^2 +`

                                                      ` (2x - y)^3`

  ধরি, 2x + y = p এবং 2x - y = q

  :. প্রদত্ত রাশি `= p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3`

                 `= (p + q)^3`

                 `= (2x + y + 2x - y)^3`  [মান বসিয়ে]

                 `= (4x)^3`

                 `= 64x^3`

  গ.`(7x + 3b)^3 - (5x + 3b)^3 - 6x(7x + 3b) (5x + 3b)`

      ধরি, 7x + 3b = p এবং 5x + 3b = q

    :. p - q = 7x + 3b - 5x - 3b

    :. p - q = 2x

   :. প্রদত্ত রাশি 

  `= p^3 - q^3 - 6x.pq`

  `= p^3 - q^3 - 3.pq. 2x`

  `= p^3 - q^3 - 3pq (p - q);` [:. 2x = p - q]

  `= (p - q)^3`

  `= (2x)^3`

  `= 8x^3`    (Ans)

 ঘ.`(x - 15)^3 + (16 - x)^3 + 3(x - 15) (16 - x)`

    ধরি, x - 15 = p এবং 16 - x = q

   :. p + q = x - 15 + 16 - x

   :. p + q = 1

   প্রদত্ত রাশি 
      `= p^3 + q^3 + 3pq`

      `= p^3 + q^3 + 3pq.1`

      `= p^3 + q^3 + 3pq (p + q)`   [:. p + q = 1]

      `= (p + q)^3`

      `= 1^3`

        = 1

  ঙ.`(a + b + c)^3 - (a - b - c)^3 - 6(b + c) {a^2 - (b + c)^2}`

  `= (a + b + c)^3 - (a - b - c)^3 - 3 xx 2(b + c) {a^2 - (b + c)^2}`

    মনে করি, a + b + c = x a - b - c = y

    তাহলে x - y `= (a + b + c) - (a - b - c)`

            `= (a + b + c - a + b + c)`

            `= 2b + 2c`

            `= 2(b + c)`

  এবং xy = (a + b + c) (a - b - c)

           = { a + (b + c)} {a - (b + c)}

         `= a^2 - (b + c)^2`

 :. প্রদত্ত রাশি, `= x^3 - y^3 - 3(x - y)xy` [মান বসিয়ে]

                 `= (x - y)^3`

                 `= {2(b + c)}^3`  [(x - y) এর মান বসিয়ে]

                 `= 8(b + c)^3`  (Ans)

  চ.`(m + n)^6 - (m - n)^6 - 12mn (m^2 - n^2)^2`

   `= (m + n)^6 - (m - n)^6 - 3(m^2 - n^2)^2 xx 4mn`

  `= {(m + n)^2}^3 - {(m - n)^2}^3 - 3(m + n)^2`

                          `(m - n)^2 {(m + n)^2 - (m - n)^2}`

 `= {(m + n)^2 - (m - n)^2}^3`

  `= (4mn)^3 = 64m^3n^3`

 ছ. `(x + y)(x^2 - xy + y^2) + (y + z) (y^2 - yz + z^2)`

                                  `+ (z + x) (z^2 - zx + x^2)`

  `= (x^3 + y^3) + (y^3 + z^3) + (z^3 + x^3)`

  `= x^3 + y^3 + y^3 + z^3 + z^3 + x^3`

  `= 2x^3 + 2y^3 + 2z^3`

  `= 2(x^3 + y^3 + z^3)`

 জ.  `(2x + 3y - 4z)^3 + (2x - 3y + 4z)^3 + 12x{(2x) - (3y - 4z)^2}`

  `= (2x + 3y - 4z)^3 + (2x - 3y + 4z)^3 + 3.4x(2x + 3y - 4z) (2x - 3y + 4z)`

       2x + 3y - 4z = p

      2x - 3y + 4z = q

      4x = p + q;

    `= p^3 + q^3 + 3(p + q).pq`

    `= (p + q)^3`

    `= (2x + 3y - 4z + 2x - 3y + 4z)^3`  [মান বসিয়ে]

    `= (4x)^3`

    `= 64x^3`

Report

Question:a - b = 5 এবং ab = 36 হলে `a^3 - b^3` এর মান কত? 
Answerদেওয়া আছে, a - b = 5 এবং ab = 36

 `a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)`

           `= (5)^3 + 3.36.5`  [মান বসিয়ে]

           `= 125 + 540`

           `= 665` (Ans)

Report

Question:যদি  `a^3 - b^3 = 513 `এবং a - b = 3 হয়,  তবে ab এর মান কত? 
Answerদেওয়া আছে,
          a - b = 3 এবং `a^3 - b^3 = 513`

         বা, `(a - b)^3 + 3ab(a - b) = 513`

         বা, `3^3 + 3ab.3 = 513`  [মান বসিয়ে]

         বা, `27 + 9ab = 513`

         বা, `9ab = 513 - 27`

         বা, `9ab = 486`

         বা, `ab = (486)/9`

       :. ab = 54`  (Ans)

Report

Question:x = 19  এবং y = 12 হলে `8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3` এর মান নির্ণয় কর। 
Answerদেওয়া আছে, x = 19 এবং y = 12

  প্রদত্ত রাশি 
 `= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3`

 `= (2x)^3 + 3.(2x)^2.3y + 3.2x.(3y)^2 + (3y)^3`

 `= (2x + 3y)^3`

 `= {2 xx 19 + 3(-12)}^3 `[x ও y এর মান বসিয়ে]

 `= (38 - 36)^3 = (2)^3 = 8`  (Ans)

Report

Question:যদি a = 15 হয় তবে `8a^3 + 60a^2 + 150a + 130` এর মান কত? 
Answerদেওয়া আছে, a = 15

 প্রদত্ত রাশি
  `= 8a^3 + 60a^2 + 150a + 130`

  `= 8a^3 + 3.4a^2.5 + 3.2a.25 + 125 + 5`

  `= (2a)^3 + 3.(2a)^2.5 + 3.2a.(5)^2 + (5)^3 + 5`

  `= (2a + 5)^3 + 5`

  `= (2 xx 15 + 5)^3 + 5` [মান বসিয়ে]

  `= (30 + 5)^3 + 5`

  `= (35)^3 + 5`

  `= 42875 + 5`

  `= 42880` (Ans)

Report

Question:a = 7 এবং b = -5 হলে, `(3a - 5b)^3 + (4b - 2a)^3 + 3(a - b) (3a - 5b) (4b - 2a)` এর মান কত? 
Answerদেওয়া আছে, a = 7, b = -5

 মনে করি,  3a - 5b = p এবং 4b - 2a = q

   :. p + q = 3a - 5b + 4b - 2a = a - b

 প্রদত্ত রাশি, 

  `= (3a - 5b)^3 + (4b - 2a)^3 + 3(a - b) (3a - 5b) (4b - 2a)`

  `= p^3 + q^3 + 3 (p + q) pq`

  `= (p + q)^3`

  `= (a - b)^3;` [:. p + q = a - b]

  `= {7 - (-5)}^3` [মান বসিয়ে]

  `=  (7 + 5)^3`

  `= (12)^3`

  `= 1728`  (Ans)

Report

Question:যদি x + y = 1 হয়, তবে, দেখাও যে, `x^3 + y^3 - xy = (x - y)^2` 
Answerদেওয়া আছে, `= x^3 + y^3 - xy`

  বামপক্ষ `= (x + y)^3 - 3xy(x + y) - xy`

           `= (1)^3 - 3xy.1 - xy`  [সূত্র প্রয়োগ করে]

           `= 1 - 3xy - xy = 1 - 4xy` [মান বসিয়ে]

           `= 1^2 - 4xy = (x + y)^2 - 4xy` [1 = x + y]

           `= (x - y)^2` [সূত্র প্রয়োগ করে]

             = ডানপক্ষ

         `:. x^3 + y^3 - xy = (x - y)^2` (দেখানো হলো)

Report

First Prev 4 5 6 7 8 Next Last

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর: 3x - 4y

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর: 397

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর। ১.ক. 2x + 5 খ. `2x^2 + 3y^2` গ. `4a - 5x^2` ঘ. `7m^2 - 2n` ঙ. `403 চ. `998` ছ. `2a - b - 3c` জ. `2x + 3y + z`

Question:a - b = 5 এবং ab = 36 হলে `a^3 - b^3` এর মান কত?

Question:যদি `a^3 - b^3 = 513 `এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

Question:x = 19 এবং y = 12 হলে `8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3` এর মান নির্ণয় কর।

Question:যদি a = 15 হয় তবে `8a^3 + 60a^2 + 150a + 130` এর মান কত?

Question:a = 7 এবং b = -5 হলে, `(3a - 5b)^3 + (4b - 2a)^3 + 3(a - b) (3a - 5b) (4b - 2a)` এর মান কত?

Question:যদি x + y = 1 হয়, তবে, দেখাও যে, `x^3 + y^3 - xy = (x - y)^2`