Question:`x = 9 + 4sqrt(5)` হলে

   ক. x এর মান বর্গ আকারে প্রকাশ কর।

   খ. `(sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2` এর মান নির্ণয় কর । (যেখানে `sqrt(x)` ধণাত্নক)

   গ. দেখাও যে, `x^4 - 322x^2 + 1 = 0` 

ক. দেওয়া আছে, 

 `x = 9 + 4sqrt(5)`

   `= 5 + 4sqrt(5) + 4`

   `= (sqrt(5))^2 + 2. sqrt(5) . 2 + 2^2`

   `= (sqrt(5) + 2)^2`     (Ans)

  খ. ‘ক’ হতে পাই,

   `x = (sqrt(5) +2)^2`

   :.` sqrt(x) = sqrt(5) + 2`

   :.` 1/sqrt(x) = 1/(sqrt(5) + 2)` [বিপরীতকরণ করে]

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5) + 2) (sqrt(5) - 2)`

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5)^2 - (2)^2`

   `= (sqrt(5 - 2)/(5 - 4)`

   `= sqrt(5) - 2`

 :.` (sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2`

 ` = (sqrt(5) + 2 - sqrt(5) + 2)^2` [মান বনিয়ে]

  `= (4)^2`

    = 16  Ans

  
  গ. দেওয়া আছে, 

   `x = 9 + 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 1/(9 + 4sqrt(5)`

  `= (9 - 4sqrt(5))/((9 + 4sqrt(5)) (9 - 4sqrt(5))`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - (4sqrt(5))^2`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - 80)`

  `= 9 - 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 9 - 4sqrt(5)`

   :.` x + 1/x = 9 + 4sqrt(5) + 9 - 4sqrt(5)`

    বা, `x + 1/x = 18`

    বা, `(x + 1/x)^2 = 18^2` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

    বা, `x^2 + 2.x. 1/x + 1/x^2 = 324`

    বা, `x^2 + 1/x^2 = 324 - 2`

    বা, `(x^4 + 1)/x^2 = 322`

    বা, `x^4 + 1 = 322x^2`

    :.` x^4 - 322x^2 + 1 = 0`

Question:a + b + c = 15 এবং `a^2 + b^2 + c^2 = 83` হলে,

  ক. ab + bc + ca এর মান কত?

  খ. `(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `(a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 = 308` 

খ. দেওয়া আছে, a + b + c = 15

   `a^2 + b^2 + c^2 = 83`

  ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত ab + bc + ca = 71

  প্রদত্ত রাশি,  

 `= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2`

 `= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2`

 `= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)`

 `= 2 xx 83 - 2 xx 71`

 `= 166 - 142`

 `= 24`   (Ans)


 গ. বামপক্ষ 

  = `(a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2`

  =` a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + c^2 + 2ca + a^2`

  =` 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)`

   =` 2 xx 83 + 2 xx 71`

   =` 166 + 142`

   = 308

   = ডানপক্ষ

  :.` (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2` 

    = 308   (দেখানো হলো)

Question:`a + b = sqrt(5), a - b = 2, x - 1/x = p` এবং `y^2 = 2y - 1`

  ক. `a^2 - b^2` = কত?

  খ. `c/(x(x - p)` এর মান কত?

  গ. প্রমাণ কর যে, `y^2 + 1/y2 = y^4 + 1/y^4` 

ক. দেওয়া আছে, `a + b = sqrt(5)`

     এবং  a - b = 2

  আমরা জানি,  `a^2 - b^2 `

  `= (a + b) (a - b)`

  `= (sqrt(5)) (2)`

  `= 2sqrt(5)`


  খ. দেওয়া আছে,

   `x - 1/x = p`

    বা, `((x^2 - 1)/x) = p`

    বা, `x^2 - 1 = px`

    বা, `x^2 - px = 1`

    বা, `x(x - p) = 1`

    :. `c/(x(x - p)`

    `= c/1; [:. x(x - p) = 1]`

      = c   (Ans)

 গ. দেওয়া আছে, 

    `y^2 = 2y - 1`

   বা, `y^2/y = 2y/y - 1/y,` [y দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]

   বা, `y = 2 - 1/y`

   :. `y + 1/y = 2`

   বামপক্ষ 

  `= y^2 + 1/y^2`

  `= (y + 1/y)^2 - 2.y. 1/y`

  `= (2)^2 - 2`

  `= 4 - 2 = 2`

 ডানপক্ষ 

  `= y^4 + 1/y^4`

  `= (y^2)^2 + (1/y^2)^2`

  `= (y^2 + 1/y^2)^2 - 2.y^2. 1/y^2`

  `= {(y + 1/y)^2 - 2.y. 1/y}^2 - 2`

  `= {2^2 - 2}^2 - 2`

  `= (4 - 2)^2 - 2`

  `= 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2`

   :. `y^2 + 1/y^2 = y^4 + 1/y^4`  (প্রমাণিত)

Question:`a - 1/a = 4` হলে

  ক. 105 এর বর্গ সূত্রের 

  খ. `a^2 + 1/a^2` ও  `a^2 - 1/a^2` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. প্রমাণ কর যে, `a^4 = 322 - 1/a^4` 

ক. 105 এর বর্গ

  `= (105)^2`

  `= (100 + 5)^2`

  `= (100)^2 + 2.100.5 + (5)^2`

  `= 10000 + 1000 + 25`

  `= 11025`   (Ans)


 খ. দেওয়া আছে,
  
   `a - 1/a = 4`

   :. `a^2 + 1/a^2 `

  `= (a - 1/a)^2 + 2.a. 1/a`

  `= (4)^2 + 2`

  `= 16 + 2`

    = 18  (Ans)

  আবার,  

  `(a + 1/a)^2 = (a - 1/a)^2 + 4. a. 1/a`

                    `= (4)^2 + 4`

                    `= 16 + 4`

                      = 20

  :. `a + 1/a = +- sqrt(20) = +- 2sqrt(5)`

  এখন,   `a^2 - 1/a^2 = (a + 1/a) (a - 1/a)`

                       `= (+- 2sqrt(5))4`

                       `= +- 8sqrt(5)`   (Ans)

   গ. দেওয়া আছে, 

   `a - 1/a = 4`

   বা, `(a - 1/a)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

   বা, `a^2 - 2.a. 1/a + (1/a)^2 = 16`

   বা, `a^2 + 1/a^2 - 2 = 16`

   বা, `a^2 + 1/a^2 = 16 + 2` [পক্ষন্তর করে]

   বা, `(a^2 + 1/a^2)^2 = (18)^2` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

   বা, `(a^2)^2 + 2.a^2. 1/a^2 + (1/a^2)^2 = 324`

   বা, `a^4 + 2 + 1/a^4 = 324`

   বা, `a^4 + 1/a^4 = 324 - 2`

   বা,  `a^4 + 1/a^4 = 322`

   :. `a^4 = 322 - 1/a^4`   (প্রমাণিত)

Question:`a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8` `a^2 - ab + b^2 = 2`

  ক. `a^2 + ab + b^2` এর মান কত?

  খ. `4a^2 + 4b^2` এবং 6ab এর মান নির্ণয় কর।

  গ. প্রমাণ কর যে,  `8(a^4 - b^4) = 24sqrt(5)` 

ক. দেওয়া আছে, 

  `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

  এবং `a^2 - ab + b^2 = 2`

  এখন,  `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

  বা, `(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2 = 8`

  বা, `(a^2 + b^2) - (ab)^2 = 8`

  বা,  `(a^2 + b^2 + ab) (a^2 + b^2 - ab) = 8`

  বা, `(a^2 + ab + b^2) xx 2 = 8`

  বা, `a^2 + ab + b^2 = 4`

 `:. a^2 + ab + b^2 = 4`  (Ans)


  খ. দেওয়া আছে, 

   ’ক’ থেকে `a^2 - ab + b^2 = 2.................(i)`

   `a^2 + ab + b^2 = 4..............(ii)`

     (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

   `a^2 - ab + b^2 + a^2 + ab + b^2 = 2 + 4`

     বা, `2(a^2 + b^2) = 6`

     বা,  `2 xx 2 (a^2 + b^2) = 6 xx 2`

   `:. 4a^2 + 4b^2 = 12`    (Ans)

   (ii)  থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

  `a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 4 - 2`

    বা, `2ab = 2`

    বা,  `3 xx 2ab = 2 xx 3`

  `:. 6ab = 6 `(Ans)


  গ. ‘খ’ থেকে

    `4(a^2 + b^2) = 12`

     :.` a^2 + b^2 = 3`

    এবং 6ab = 6

     :. ab = 1

   `:. (a^2 - b^2)^2 `

   `= (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2`

   `= 3^2 - 4.1^2`

   `= 9 - 4`

     = 5

    :. `a^2 - b^2 = sqrt(5)`  [ধনাত্নক মান নিয়ে]

   বামপক্ষ

  `= 8(a^4 - b^4)`

  `= 8{(a^2)^2 - (b^2)^2}`

  `= 8(a^2 + b^2) (a^2 - b^2)`

  `= 8 xx 3 xx sqrt(5)`

  `= 24sqrt(5)`

   = ডানপক্ষ

  `:. 8(a^4 - b^4) = 24sqrt(5)`  (প্রমাণিত)

Question:`a = sqrt(13) + 2sqrt(3)`

  ক. `1/a` নির্ণয় কর।

  খ. `(13a)/(a^2 - sqrt(13a + 1)) = sqrt(13) `

  গ. দেখাও যে,  `a^4 = 2498 - 1/a^4` 

ক. দেওয়া আছে, 

  `a = sqrt(13) + 2sqrt(3)`
    
 `:. 1/a = 1/(sqrt(13) + 2sqrt(3)`

 `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/(sqrt(13) + 2sqrt(3)) (sqrt(13) - 2sqrt(3))`

                    [লব ও হরকে `sqrt(13) - 2sqrt(3)`দ্বারা গুণ করে]

 `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/(sqrt(13)^2 - (2sqrt(3)^2)`

 `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/(13 - 12)`

 `= sqrt(13) - 2sqrt(3)`

  :. `1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`   (Ans)


 খ. ‘ক’ হতে `a = sqrt(13) + 2sqrt(3)` এবং `1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`

   এখন `(13a)/(a^2 - sqrt(13a + 1))`

    `= (13a)/(a(a - sqrt(13) + 1/a))`

    `= (13)/(a + 1/a - sqrt(13))`

    `= (13)/(sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3) - sqrt(13)`

   ` = (13)/(sqrt(13) = sqrt(13)`

  :. `(13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1)`

    `= sqrt(13)`  (প্রমাণিত)

 গ. আমরা জানি, 

   `(a + 1/a)^2 = a^2 + 2.a. 1/a + (1/a)^2`

   `sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`

                         [`:. a = sqrt(13) + 2sqrt(3) 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`]

     বা, `(2sqrt(13))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`

    বা, `52 = a^2 + 1/a^2 + 2`

    বা, `a^2 + 1/a^2 = 50`

    বা, `(a^2 + 1/a^2)^2 = (50)^2`   [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

    বা, `(a^2)^2 + 2.a^2. 1/a^2 + (1/a^2)^2 = 2500`

    বা `a^4 + 1/a^4 + 2 = 2500`

    বা,  `a^4 + 1/a^4 = 2500 - 2`

    বা, `a^4 + 1/a^4 = 2498`

     `:. a^4 = 2498 - 1/a^4`  (দেখানো হলো)

Question:যদি `4x^2 - 2x = -1` হয়, তাহলে

   ক. `2x + 1/(2x)` এর মান নির্ণয় কর।

   খ. `x^2 + 1/(16x^2)` এর মান নির্ণয় কর।

   গ. দেখাও যে, `16 (x^4 + 1/(256x^4)) = -1` 

ক. দেওয়া আছে, 

 `4x^2 - 2x = - 1`

  বা, `4x^2 + 1 = 2x`

  বা, `(4x^2 + 1)/(2x) = 1`

  বা, `(4x^2)/(2x) + 1/(2x) = 1`

 `:. 2x + 1/(2x) = 1`


 খ.`x^2 + 1/(16x^2) = 1/4. 4(x^2) + 1/(16x^2)`

  `= 1/4 (4x^2 + 1/(4x^2))`

 ` = 1/4 {(2x)^2 + (1/(2x))^2}`

  `= 1/4 {(2x + 1/(2x))^2 - 2.2x. 1/(2x)}`

  `= 1/4 (1^2 - 2)` [’ক’ হতে]

  `= (-1)/4`

 

 গ.`16(x^4 + 1/(256x^4))`

  `= 16{(x^2)^2 + (1/(16x^2))^2}`

  `= 16 {(x^2 + 1/(16x^2))^2 - 2.x^2. 1/(16x^2)}`

  `= 16{(- 1/4)^2 - 1/8}` [’খ’ হতে]

  `= 16 (1/(16) - 1/8)`

  `= 16 ((1 - 2)/(16))`

  `= - 1`

Question:`2a = sqrt(7) + sqrt(5) ও 2b = sqrt(7) - sqrt(5)` হলে,

  ক. a + b a - b এর মান কত?

  খ. প্রমাণ কর যে, `8ab (a^2 + b^2) = 24`

  গ. দেখাও যে, `ab (a^4 - b^4) = 3sqrt(35)` 

ক. দেওয়া আছে, 

 `2a = sqrt(7) + sqrt(5) 2b = sqrt(7) - sqrt(5)`

 `:. a + b = (2a + 2b)/2 = (sqrt(7) + sqrt(5) + sqrt(7) - sqrt(5))/2 = sqrt(7)`

 এবং `a - b = (2a - 2b)/2 = (sqrt(7) + sqrt(5)) - (sqrt(7) - sqrt(5))/2`

 `= (sqrt(7) + sqrt(5) - sqrt(7) + sqrt(5))/2 = (2sqrt(5))/2 = sqrt(5)`



 খ. ‘ক’ হতে পাই, `a + b = sqrt(7) a - b = sqrt(5)`

  বামপক্ষ 

  =`8ab(a^2 + b^2)`

  = `4ab . 2(a^2 + b^2)`

  =`{(a + b)^2 - (a - b)^2} {(a + b)^2 + (a - b)^2}`
                                              [সূত্র প্রয়োগ করে]
  
 =` {(sqrt(7))^2 - (sqrt(5))^2} {(sqrt(7))^2 + (sqrt(5))^2}`

                                             [মান বসিয়ে]

 =` (7 - 5) (7 + 5)`

 =` 2 xx 12`

 =` 24`

 = ডানপক্ষ

  :. `8ab (a^2 + b^2) = 24`  (প্রমাণিত)


 গ. বামপক্ষ =`ab(a^4 - b^4)`

       =`ab{(a^2)^2 - (b^2)^2}`

       =` ab(a^2 + b^2) (a^2 - b^2)`

       =` (8ab(a^2 + b^2)/8  (a + b) (a - b)`

       =` (24)/8. sqrt(7). sqrt(5). ` [’ক’ ও ‘খ’ এর মান বসিয়ে]

       =` 3sqrt(35)`

       = ডানপক্ষ

     :. `ab (a^4 - b^4) = 3sqrt(35)`  ( দেখানো হলো)

Question:`x^2 - sqrt(2) x = 1` হলে---

   ক. দেখাও যে, `x - 1/x = sqrt(2)`

   খ. দেখাও যে, `7(x^2 + 1/x^2) = 2(x^4 + 1/x^4)`

   গ. মান নির্ণয় কর : `(x^4 - 1/x^4)/(x + 1/x)` 

ক. দেওয়া আছে, 

  `x^2 - sqrt(2) x = 1`

   বা, `x^2 - 1 = sqrt(2x)`

   বা, `(x^2 - 1)/x = sqrt(2)`

   বা, `x^2/x - 1/x = sqrt(2)`

   :. `x - 1/x = sqrt(2)`   (দেখানো হলো)


 খ. বামপক্ষ

  `= 7(x^2 + 1/x^2)`

 ` = 7{(x)^2 + (1/x)^2}`

 ` = 7{(x - 1/x)^2 + 2.x. 1/x}`

 ` = 7{7(sqrt(2)^2 + 2}`  [’ক’ হতে]

  `= 7 (2 + 2)`

  `= 7 xx 4`

  `= 28`



  ডানপক্ষ 

 `= 2(x^4 + 1/x^4) = 2{(x^2)^2 + (1/x^2)^2}`

 `= 2{(x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2}`

 `= 2{(x^2 + 1/x^2)^2 - 2}`

 `= 2[{(x - 1/x)^2 + 2. x. 1/x}^2 - 2]`

 `= 2[{(sqrt(2))^2 + 2}^2 - 2]` [’ক’ হতে]

 `= 2[(4)^2 - 2]`

 `= 2 xx 14`

   = 28

    :.` 7 (x^2 + 1/x^2) = 2(x^4 + 1/x^4)`  (দেখানো হলো)

   
  গ. `(x^4 - 1/x^4)/(x + 1/x) = ((x^2)^2 - (1/x^2)^2)/(x + 1/x)`

   `= ((x^2 + 1/x^2) (x + 1/x) (x - 1/x))/(x + 1/x)`

   `= (x^2 + 1/x^2) (x - 1/x)`

   `= 4 xx sqrt(2)` [’খ’ হতে]

   `= 4sqrt(2)`

Question:সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর:

                3x + 2y 

প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (3x + 2y)^3`

 `= (3x)^3 + 3. (3x)^2. 2y + 3.3x.(2y)^2 + ()2y)^3`

 `= 27x^3 + 3.9x^2.2y + 3.3x.4y^2 + 8y^3`

 `= 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3` (Ans)