Question:`a^2 + b^2 + c^2 = 9` এবং `ab + bc + ca = 8` হলে, 

 `(a + b + c)^2` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, 

`a^2 + b^2 + c^2 = 9` এবং `ab + bc + ca = 8`

 আমরা জানি, 

 `(a + b + c)^2`

 `= (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)`

 `= 9 + 2.8` [মান বসিয়ে]

 `= 9 + 16`

   = 25

Question:a + b + c = 6 এবং `a^2 + b^2 + c^2 = 14`হলে

   `(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2`এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a + b + c = 6 `a^2 + b^2 + c^2 = 14`

  আমরা জানি, 

    বা,`(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)`

    বা, `(6)^2 = 14 + 2(ab + bc + ca)` [মান বসিয়ে]

    বা, `36 = 14 + 2(ab + bc + ca)`

    বা, `2(ab + bc + ca) = 36 - 14`

    বা, `2(ab + bc + ca) = 22`

     :. ab + bc + ca = 11


 প্রদত্ত রাশি 

 `= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2`

 `= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2`

 `= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)`

 `= (2 xx 14) - (2 xx 11)`  [মান বসিয়ে]

 `= 28 - 22`

   = 6 (Ans)

Question:x + y + z = 10 xy + yz + zx = 31 হলে,

            `(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, x + y + z = 10 xy + yz + zx = 31

   আমরা জানি,

   `(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)`

    বা, `(10)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 xx 3` [মান বসিয়ে]

    বা, `x^2 + y^2 + z^2 = 100 - 62`

     :.` x^2 + y^2 + z^2 = 38`


   প্রদত্ত রাশি 

  `= (x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2`

  `= x^2 + 2xy + y^2 + y^2 + 2yz + z^2 + z^2 + 2zx + x^2`

  `= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx)`

  `= (2 xx 38) + (2 xx 31)` [মান বসিয়ে]

    = 76 + 62

    = 138   (Ans)

Question:x = 3, y = 4 z = 5 হলে,

 `9x^2 + 16y^2 + 4z^2 - 24xy - 16yz + 12zx` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, x = 3, y = 4 z = 5

 প্রদ্ত্ত রাশি 

 `= 9x^2 + 16y^2 + 4z^2 - 24xy - 16yz + 12zx`

` = (3x)^2 + (- 4y)^2 + (2z)^2 + 2.3x (-4y) + 2.(-4y).2z + 2.3x. 2z`

 ` = (3x)^2 + (- 4y)^2 + (2z)^2 + 2{3x(-4y) + (-4y).2x + 3x.2z}`

  `= {3x + (-4y) + 2z}^2`

  `= (3x - 4y + 2z)^2`

  `= (3.3 - 4,4 + 2.5)^2` [মান বসিয়ে]

  `= (9 - 16 + 10)^2`

  `= 3^2`

    = 9   (Ans)

Question:`{((x + y)/2)^2 - ((x - y)/2)^2}^2 = ((x^2 + y^2)/2)^2 - ((x^2 - y^2)/2)^2` 

বামপক্ষ 

` = {((x + y)/2)^2 - ((x - y)/2)^2}^2`

 `=  (xy)^2` [সূত্র ব্যবহার করে]

 `= x^2y^2`

 `= ab [x^2 = a` এবং `y^2 = b` ধরে ]

 `= ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2` [সূত্র ব্যবহার করে]

 `= ((x^2 + y^2)/2)^2 - ((x^2 - y^2)/2)^2` [a ও b এর মান বসিয়ে]

   = ডানপক্ষ


  :. `{((x + y)/2)^2 - ((x - y)/2)^2}^2 = ((x^2 + y^2)/2)^2 - ((x^2 - y^2)/2)^2`  (প্রমাণিত)

Question:`x^2 + 10x + 24` কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর। 

`x^2 + 10x + 24`

     `= x^2 + 6x + 4x + 24`

     `= x(x + 6) + 4(x + 6)`

     `= (x + 6) (x + 4)`

     `= {((x + 6) + (x + 4))/2}^2 - {((x + 6) - (x + 4))/2}^2`

                                 [সূত্র ব্যবহার করে ]

     `= ((x + 6 + x + 4)/2)^2 - ((x + 6 - x - 4)/2)^2`

     `= ((2x + 10)/2)^2 - (2/2)^2`

     `= {(2(x + 5))/2}^2 - 1^2`

     `= (x + 5)^2 - 1^2`  (Ans)

Question:`a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8` এবং `a^2 + ab + b^2 = 4`

    (i) `a^2 + b^2, `(ii) ab এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`...........(1)

         এবং  `a^2 + ab + b^2 = 4`.............(2)



  (1) নং হতে পাই,

     `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

   বা, `(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2 = 8`

   বা, `(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = 8`

   বা,  `(a^2 + b^2 + ab) (a^2 + b^2 - ab) = 8`

   বা, ` 4(a^2 + b^2 - ab) = 8 ` [(2) নং এর মান বসিয়ে]

   বা,  ` a^2 - ab + b^2 = 8/4`

     `:. a^2 - ab + b^2 = 2` ...........(3)


   (i) নং  (2) ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

   `a^2 + ab + b^2 + a^2 - ab + b^2 = 4 + 2`

    বা, ` 2a^2 + 2b^2 = 6`

    বা, `2(a^2 + b^2) = 6`

    বা,  `a^2 + b^2 = 6/2`

     `:. a^2 + b^2 = 3`   (Ans)

 (ii) (2) ও (3) নং সমীকরণ হতে নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 
 
     `a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 4 - 2`

    বা,  `2ab = 2`

    বা, `ab = 2/2`

      :. ab = 1  (Ans)

Question:3xy + 2ax, 4x - 3y x x - 5y + 2z  তিনটি রাশি।

  ক. সূত্রের সাহায্যে তৃতীয় রাশির বর্গ নির্ণয় কর।

  খ. ১ম রাশিকে a এবং ২য় রাশিকে  b বিবেচনা করে `(a + b)^2` এর মান 

     সৃত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

  গ. মান নির্ণয় কর: (১ম রাশি`)^2` + (২য় রাশি`)^2`- (৩য় রাশি`)^2` 

ক. প্রদত্ত রাশির বর্গ 

 = `(x - 5y + 2z)^2 = {x + (- 5y) + 2z}^2`

 =` x^2 + (-5y)^2 + (2z)^2 + 2.x (- 5y) + 2 (-5y).`

                                                      ` 2z + 2.x.2z`

 =` x^2 + 25y^2 + 4z^2 - 10xy - 20yz + 4zx` (Ans)

 খ. প্রশ্নমতে,  a = 3xy + 2ax b = 4x - 3y

  :. `(a + b)^2 = (3xy + 2ax + 4x - 3y)^2`

  `= {(3xy + 2ax) + (4x - 3y)}^2`

  `= (3xy + 2ax)^2 + 2 (3xy + 2ax) (4x - 3y) + (4x - 3y)^2`

  `= 9x^2y^2 + 4a^2x^2 + 12ax^2y + 2(12x^2y - 9xy^2 + 8ax^2 - 6axy) +` 

                                                              ` 16x^2 + 9y^2 - 24xy.`

  `= 9x^2y^2 + 4a^2x^2 + 12ax^2y + 24x^2y - 18xy^2 + 16ax^2 - `

                                                  `12axy + 16x^2 + 9y^2 - 24xy`


 গ. (১ম রাশি`)^2` + (২য় রাশি`)^2` - (৩য় রাশি`)^2`

 `= (3xy + 2ax)^2 + (4x - 3y)^2 - (x - 5y + 2z)^2`

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 16x^2 - 24xy + 9y^2`
                         `-(x^2 + 25y^2 + 4z^2 - 10xy - 20yz + 4zx)` ['ক' হতে]

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 16x^2 - 24xy + 9y^2 - x^2 - 25y^2`
                                `-4z^2 + 10xy + 20yz - 4zx`

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 15x^2 - 14xy - 16y^2 + 20yz`
                                         `- 4zx - 4z^2`

Question:`x^2 - 4x - 1 = 0`

  ক. `x - 1/x` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. প্রমাণ কর যে, `(x^2 - 1/x^2)^2 = 320`

  গ. প্রমাণ কর যে, `x^4 + 1/x^4 = 322` 

ক. দেওয়া আছে,
   `x^2 - 4x - 1 = 0`

   বা, `x^2 - 1 = 4x`

   বা,`x^2/x - 1/x = (4x)/x` [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]

   `:. x - 1/x = 4`



 খ. ’ক’ হতে প্রাপ্ত 

  `x - 1/x = 4`

 :. `(x + 1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 4.x.1/x`

                    `= 4^2 + 4`

                      = 20

             বা, `x + 1/x = +- sqrt(20)`

             :.` x + 1/x = +- sqrt(5)`


            
   বামপক্ষ 

  `= (x^2 - 1/x^2)^2`

  `= {(x + 1/x)(x - 1/x)}^2`

  `= {(+- 2sqrt(5).4}^2`

  `= (+- 8sqrt(5))^2`

  `= 320`

   ডানপক্ষ

    :. `(x^2 - 1/x^2)^2 = 320` (প্রমাণিত)


 গ. দেওয়া আছে, 

 `x - 1/x = 4`

  বা, `(x - 1/x)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

  বা, `x^2 - 2.x.1/x + (1/x)^2 = 16`

            [`(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`সূত্র প্রয়োগ করে]

  বা, `x^2 + 1/x^2 - 2 = 16`

  বা, `x^2 + 1/x^2 = 16 + 2` [পক্ষান্তর করে]

  বা, `(x^2 + 1/x^2)^2 = (18)^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

  বা, `(x^2)^2 + 2.x^2. 1/x^2 + (1/x^2)^2 = 324`

                 [`(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`সূত্র ব্যবহার করে]

  বা, `x^4 + 2 + 1/x^4 = 324`

  বা, `x^4 + 1/x^4 = 324 - 2`

   :.` x^4 + 1/x^4 = 322` (প্রমাণিত)

Question:`x + 1/x = 3` হলে

  ক. `sqrt(x) - 1/sqrt(x)` = কত?

  খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান বের কর।

  গ. দেখাও যে,`(sqrt(x) + 1/sqrt(x))^4 = 25` 

ক.দেওয়া আছে,  `x + 1/x = 3`

     এখন, `(sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2 = (sqrt(x)^2 - 2.sqrt(x).1/sqrt(x) + (1/sqrt(x))^2`

          `= x - 2 + 1/x`

          `= x + 1/x - 2 [:. x + 1/x = 3]`

          `= 3 - 2`

          `(sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2 = 1`

          :.` sqrt(x) - 1/sqrt(x) = +- 1`  (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, 
           `x + 1/x = 3`

        বা, `(x + 1/x)^2 = (3)^2 ` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

        বা, `x^2 + 2.x.1/x + (1/x)^2 = 9`

        বা, `x^2 + 2 + 1/x^2 = 9`

        বা, `x^2 + 1/x^2 = 9 - 2`

        বা, `x^2 + 1/x^2 = 7`

        বা, `(x^2 + 1/x^2)^2 = (7)^2` [পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

        বা, `(x^2)^2 + 2.x^2. (1)/x^2 + (1/x^2)^2 = 49`

        বা, `x^4 + 2 + 1/x^4 = 49`

        বা, `x^4 + 1/x^4 = 49 - 2`

         `:. x^4 + 1/x^4 = 47`  (Ans)


  গ. দেওয়া আছে, `x + 1/x = 3`

           
   বামপক্ষ `= (sqrt(x) + 1/sqrt(x))^4`

            `= {(sqrt(x) + 1/sqrt(x))^2}^2`

            `= {(sqrt(x))^2 + 2.sqrt(x).1/sqrt(x) + (1/sqrt(x))^2}^2`

           ` = (x + 2 + 1/x)^2`

           ` = x + 1/x + 2)^2`

           `= (3 + 2)^2  [:. x + 1/x = 3]`

           `= (5)^2`

           `= 25`

           ডানপক্ষ
     
       :. `(sqrt(x) + 1/sqrt(x))^4 = 25`  (দেখানো হলো)