Question:৬.> কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পায়।

  ক. অজানা রাশির (x) মাধ্যমে বৃদ্ধি প্রাপ্ত রাশির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

  খ. ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?

  গ. যদি ঐ বর্গক্ষেত্রের বৃদ্ধির পরিমাণ 41.16 এর সমান হয়, তবে বর্গক্ষেত্রের 

     প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত ছিল? 

ক. মনে করি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক

  প্রত্যেক বাহু বৃদ্ধি পায় x এর 10% =` (x xx (10)/(100))` একক `x/(10)` একক

  :. বাহুর পরিমাণ হবে `(x + x)/(10)` একক `(11x)/(10)` একক Ans.

 

 খ. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে ক্ষেত্রফল `x^2` বর্গ একক

    ‘ক’ অংশ হতে পাই,

   10% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ হয় `(11x)/(10)` একক

   :. ক্ষেত্রফল হয় `((11x)/(10))^2` বর্গ একক `(121x^2)/(100)` বর্গ একক

   :. নতুন বর্গক্ষেত্র বৃদ্ধি পায় `((121x^2)/(100) - x^2)` বর্গ একক

                          = `(121x^2 - 100x^2)/(100)` বর্গ একক

                          = `(21x^2)/(100)` বর্গ একক

  :. ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধির পরিমাণ (বৃদ্ধি/পূর্বের ক্ষেত্রফল` xx` 100)%

                          = `(((21x^2)/(100))/(x^2) xx 100)%`

                          =` ((21x^2)/(100x^2) xx 100)^`

                          = 21%

   :. ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় 21% Ans.

  
 গ. ‘খ’ হতে পাই,

     বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেতফল বৃদ্ধির পরিমাণ `= (21x^2)/(100)` বর্গ একক

     :. প্রশ্নানুসারে, `(21x^2)/(100) = 41.16`

      বা `21x^2 `[আড়গুণন করে]

      বা,` x^2 = (4116)/(21)`

      বা,` x^2 = 196`

      বা, x = 14  [বর্গমূল করে]

       :. x = 14

     :. বর্গক্ষেত্রটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 14 একক

        এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল =` x^2` বর্গ একক

                                   =` (14)^2` বর্গ একক

                                   = 196 বর্গ একক

      Ans. 14 একক, 196 বর্গ একক।

Question:৭.> একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5

  ক. ত্রিভুজের পরিসীমার সাথে সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং পরিসীমার সাথে ক্ষেত্রফলের 

      সম্পর্ক থাকলে দেখাও।

  খ. ত্রিভুজটির পরিসীমা 36 সে.মি হলে প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এবং ক্ষেত্রফল

      কত দেখাও।

 গ. বাহুসমূহের অনুপাত কোণত্রয়ের অনুপাতের সমান হলে কোণ তিনটি ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।

    ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 

    বের কর। 

ক. ধরি ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা = s এবং বাহুদ্বয় যথাক্রমে a, b, c

   :. পরিসীমা, 2s = a + b + c

   বা, s = `(a + b + c)/2`

  আবার, Δ ক্ষেত্রফল `= sqrt(s (s - a) (s - b) (s - c)`

  ইহাই ত্রিভুজের পরিসীমার সাথে ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক।

   

  খ. ক নং থেকে পাই, 2s = a + b + c

     ধরি, ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 3x, 4x, 5x

    :. 2s = 3x + 4x + 5x 

    বা, 2s = 12x

    বা, 36 = 12x [পরিসীমা 2s = 36 সে.মি]

    বা, `x = (36)/(12)`

  :. ত্রিভুজের বাহুদ্বয়ে যথাক্রমে 9 সে.মি 12 সে.মি এবং 15 সে.মি

    আবার অর্ধপরিসীমা s = `(36 -: 2)` সে.মি. = 18 সে.মি

   ‘ক’ নং থেকে পািই, 

  :. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
       `= sqrt(18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)` বর্গ সে.মি

         =` sqrt(18.9.6.3)` বর্গ সে.মি.

         =` sqrt(2916)` বর্গ সে.মি. 

         = 54 বর্গ সে.মি  (Ans)


  গ. প্রশ্নমতে, কোণত্রয়ের অনুপাত = 3 : 4 : 5

      ধরি কোণদ্বয় যথাক্রমে 3x, 4x 5x

      আমরা জানি, ‍ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = `180^0`

     :. প্রশ্নমতে, 3x + 4x + 5x = `180^0`

       বা, 12x = `180^0`

       :. x = `15^0` 

    :. ত্রিভুজের কোণদ্বয় যথাক্রমে, 3x =` 3 xx 15^0 = 45^0`

                                   4x =` 4 xx 15^0 = 60^0`

                                   5x = `5 xx 15^0 = 75^0`

   প্রশ্নমতে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =  ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা

                              = 18 সে.মি.

   :. বৃত্তের ক্ষেত্রফল = `πr^2`
  
           =` π.18^2` বর্গ সে.মি.

           = 324π বর্গ সে.মি.

  :. বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 324π : 54

                                     = 6π : 1  (Ans.)

Question:৮.> ক্রিকেট এক টেস্ট খেলায় সাকিব, তামিম ও মুশফিক একত্রে 690 রান 

   করল। সাকিব, তামিম এবং তামিম, মুশফিকের রানের অনুপাত যথাক্রমে 5 : 6

   এবং 24 : 25। বিসিবি থেকে পুরস্কার হিসেবে তারা একত্রে 2967000 টাকা পেল।

  ক. অনুপাত দুইটিকে ধারাবাহিক অনুপাতে প্রকাশ কর।

  খ. কে কত রান করল?

  গ. পুরস্কারের টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন সাকিব 5 টাকা পেলে তামিম পায় 

    4 টাকা। আবার তামিম  3 টাকা পেলে মুশফিক পায় 4 টাকা। 

ক. সাকিবের রান : তামিমের রান = 5 : 6 = 20 : 24

  তামিমের রান : মুশফিকের রান = 24 : 25

 :. সাকিবের রান : তামিমের রান : মুশফিকের রান = 20 : 24 : 25 (Ans)


 খ. ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,

   তিনজনের রানের অনুপাত যোগ করে পাই, 20 + 24 + 25 = 69

  :. সাকিবের রানের পরিমাণ (690 এর `(20)/(69)`) = 200 রান

    তামিমের রানের পরিমাণ (690 এর `(24)/(69)`) = 240 রান

    মুশফিকের রানের পরিমাণ (690 এর ` (25)/(69)`) = 250 রান


 গ. সাকিব ও তামিমের টাকার অনুপাত = 5 : 4 = 15 : 12

   তামিম ও মুশফিকের টাকার অনুপাত = 3 : 4 = 12 : 16

   সাকিব, তামিম ও মুশফিকের টাকার অনুপাত = 15 : 12 : 16

   অনুপাতসমূহের যোগফল = 15 + 12 + 16 = 43

   এখন, তিনজনের একত্রে টাকার পরিমাণ = 2967000 টাকা

   :. সাকিবের প্রাপ্ত টাকার পরিমাণ (2967000 এর `(15)/(43)`)

                                    = 10,35,000 টাকা

   তামিমের টাকার পরিমাণ (2967000 এর `(12)/(43)`) 

                          = 8,28,000 টাকা

   মুশফিকের টাকার পরিমাণ (2967000 এর `(16)/(43)`)

                             = 11,04,000টাকা

Question:৯.> কাশিমপুর এলাকার নির্বাচনে রশীদ সাহেব 13 : 12 ভোটে জয়লাভ করলেন। 

    ঐ নির্বাচনে মোট ভোটার সংখ্যা ছিল 11000 এবং শতকরা 5 ভাগ ভোটার ঐ দিন 

     ভোট দানে বিরত ছিলেন।

    ক. নির্বাচনে কতটি ভোট পড়েছিল?

    খ. রশীদ সাহেব কত ভোটের ব্যবধানে বিজয়ী হয়েছেন?

    গ. যদি নির্বাচনের দিন সকলেই ভোট দিত তখন রশীদ সাহেব প্রতিদ্বন্দ্বী প্রাথীর 

       ভোটের ব্যবধানে কীরুপ পরিবর্তন হতো। 

ক. দেওয়া আছে মোট ভোটার সংখ্যা ছিল 11000 এবং ভোট দানে 

     বিরত ছিলেন শতকরা 5 ভাগ ভোটার।

     :. ভোট দানে বিরত থাকা ভোটারের সংখ্যা  `(11000 xx 5/(100))`

                                                     = 550 জন।

      :. নির্বাচনে মোট ভোট পড়েছিল (11000 - 550)টি 

                                        = 10450টি (Ans)


 খ.   রশিদ সাহেব ও তার প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যার 

      অনুপাত = 13 : 12

      মনে করি রশিদ সাহেবের প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 13xটি এবং 

      প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 12xটি

      আবার, ঐ দিন মোট ভোটের সংখ্যা 10450টি

     :. প্রশ্নানুসারে, 13x + 12x = 10450
 
       বা, 25x = 10450

       বা, `x = (10450)/(25)`

        :. x = 418

      :. রশিদ সাহেবের প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 13xটি = `(13 xx 418)`টি 

                                                       = 5434টি

         এবং প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা = 12xটি = `(12 xx 418)`টি

                                                   = 5016টি

         :. রশিদ সাহেব ও তার প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের ব্যবধান 

             (5434 - 5016)টি = 418টি

  গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই,

      রশিদ সাহেব ও তার প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 

      যথাক্রমে 13x 12xটি

      যদি সকল ভোটার ভোট দিত তাহলে মোট ভোটের সংখ্যা হত 

      11000টি

      প্রশ্নানুসারে, 13x + 12x = 11000

              বা, 25x = 11000 

              বা, `x = (11000)/(25)`

                :. x = 440

      :. রশীদ সাহেবের প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা হত 13xটি `= (13 xx 440)`টি 

                                                            = 5720টি

        এবং প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা হত 12xটি `= (12 xx 440)`টি 

                                                                 = 5280টি

        :. রশিদ সাহেব ও তার প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের ব্যবধান হত 

                                                         (5720 - 5280)টি

          আবার ‘খ’ হতে পাই,

         রশিদ সাহেব ও তার প্রতিদ্বন্দ্বী প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের ব্যবধান ছিল 418 টি

         :. ভোটের ব্যবধান পূর্বের তুলনায় বাড়ত = (440 - 418) টি

                                                   = 22 টি   (Ans)

Question:১০.> তিনজন জেলে 690 টি মাছ `2/3: 4/6:5/6` অনুপাতে ভাগ করলো।

  ক. অনুপাতগুলোকে a : b : c আকারে প্রকাশ কর। যেখানে a, b, c`in NN`

  খ. প্রত্যেকে কতটি করে মাছ পেল? কে সবচেয়ে বেশি মাছ পেল?

  গ. প্রতিটি মাছের দাম 30 টাকা হলে দেখাও যে জেলেদের মাছের সংখ্যার অনুপাত 

    ও দামের অনপাত সমান। 

ক. দেওয়া আছে, তিনজন জেলের ভাগ করে নেওয়া মাছের 

   অনুপাত` 2/3 : 4/5 : 5/6`

   এখানে অনুপাতগুলোর হরসমূেহের ল.সা,গু 30

   :. `2/3 : 4/5 : 5/6 = (2/3 xx 30) : (4/5 xx 30) : (5/6 xx 30) = 20 : 24 : 25`

   Ans. 20 : 24 : 25
  

 খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই,

   তিনজন জেলের 690 টি মাছ ভাগ করে নেওয়ার অনুপাত 20 : 24 : 25

   মনে করি প্রথম ও দ্বিতীয় জেলে পায় যথাক্রমে 20x, 24x ও 25xটি মাছ।

   প্রশ্নানুসারে, 20x + 24x + 25x = 650

    বা, 69x = 690

    বা, x =` (690)/(69)`

       :. x = 10

   :. প্রথমে জেলে পায় =` (20 xx 10)` বা, 200টি মাছ।

   দ্বিতীয় জেলে মাছ পায় =` (24 xx 10)` বা, 240টি মাছ

   তৃতীয় জেলে মাছ পায় =` (25 xx 10)`বা, 250টি মাছ

  :. প্রথম ও দ্বিতীয় ও তৃতীয় জেলের প্রাপ্ত মাছের সংখ্যা যথাক্রমে ‍

  200টি, 240টি, ও 250টি। তৃতীয় জেলে সবচেয়ে বেশি মাছ পেল।


 গ. ‘খ’ হতে পাই,

   প্রথম দ্বিতীয় ও তৃতীয় জেলের প্রাপ্ত মাছের সংখ্যা যথাক্রমে 

   200টি, 240টি, 250 টি।

   এখন প্রতিটি মাছের দাম 30 টাকা হলে

   প্রথম জেলের প্রাপ্ত মাছের মোট দাম `= (200 xx 30)` টাকা 

                                        = 6000 টাকা

   ২য় জেলের প্রাপ্ত মাছের মোট দাম =` (240 xx 30)` টাকা 

                                      = 7200 টাকা

  এবং তৃতীয় জেলের প্রাপ্ত মাছের মোট দাম` = (250 xx 30)` টাকা 

                                               = 7500  টাকা 

  :. প্রথম দ্বিতীয় তৃতীয় জেলের প্রাপ্ত মোট মাছের দামের অনুপাত

                 = 6000 : 7200 : 7500

                 = 60 : 72 : 75

                 = 20 : 24 : 25

   যা ‘ক’ অংশ হতে প্রাপ্ত জেলেদের মাছের অনুপাতের সমান।

  :. জেলেদের মাছের সংখ্যার অনুপাত ও দামের অনুপাত সমান।

Question:১১.> একটি অফিসে 2 জন কর্মকর্তা 7 জন করণিক এবং 3 জন পিওন আছে। 

      একজন পিওন 1 টাকা পেলে একজন করণিক পায় 2 টাকা একজন কর্মকর্তা 

      পায় 4 টাকা । তাদের সকলের মোট বেতন 1,50,000 টাকা হলে, 

    ক. সকলের বেতনের অনুপাত নির্ণয় কর।

    খ. কে কত টাকা পাবে নির্ণয় কর।

    গ. কর্মকর্তার প্রাপ্য বেতন 1 : 4 অনুপাতে বিভক্ত করে ১ম অংশ নিজের 

      জন্য রেখে বাকি অংশ মা, ভাই ও বোনের মধ্যে 3 : 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত 

      করে দিলে কে কত পাবে?  অনুশীলনী-১১.২ 

ক. একজন কর্মকর্তার বেতন : একজন করণিকের বেতন : একজন পিওনের বেতন

           = 4 : 2 : 1

      :. 2 জন কর্মকর্তার বেতন : 7 জন করণিকের বেতন : 3 জন পিওনের বেতন

                                 `= (4 xx 2) : (2 xx 7) : (1 xx 3)`

      :. নির্ণেয় অনুপাত = 8 : 14 : 3


  খ. ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত অনুপাত = 8 : 14 : 3

     অনুপাতসমূহের যোগফল = 8 + 14 + 3 = 25

     সমানুপাতিক ভাগ  =` (150000)/(25) = 6000`টাকা

     কর্মকর্তার বেতন  `= (4 xx 6000)` টাকা = 24000  টাকা

     করণিকের বেতন` = (2 xx 6000)` টাকা = 12000  টাকা

     এবং পিওনের বেতন ` = (1 xx 6000)` টাকা = 6000 টাকা

     Ans. কর্মকর্তার বেতন = 24000 টাকা, করণিকের বেতন = 12000 

           টাকা এবং পিওনের বেতন 6000 টাকা।

  গ. এখানে কর্মকর্তার বেতন = 24000 টাকা  [‘খ’ থেকে]

     :. দেওয়া আছে, কর্মকর্তার প্রাপ্য বেতন 1 : 4 অনুপাতে বিভক্ত করা হয়।

     :. অনুপাতের যোগফল = 1 + 4

                             = 5

     :. নিজের অংশ (24000 এর `1/5`) টাকা = 4800 টাকা

     :. বাকি অংশ (24000 এর `4/5`) টাকা = 19200 টাকা 

      আবার বাকী অংশ মা ভাই ও বোনের মধ্যে 3 : 2 : 1 অনুপাতের বিভক্ত 

         করে দেয়।

     :. অনুপাতের যোগফল = 3 + 2 + 1 = 6

     :. মা পাবে (19200 এর `3/6`) টাকা = 9600 টাকা

       ভাই পাবে (19200 এর `2/6`) টাকা = 6400 টাকা

      এবং বোন পাবে (19200 এর `1/6`) টাকা = 3200 টাকা

    Ans. মা পাবে 9600 টাকা, ভাই পাবে 6400 টাকা এবং বোন পাবে 3200 টাকা।

Question:১২.> ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য X মিটার এবং প্রস্থ Y মিটার আয়তক্ষেত্রটির 

     10%  দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে---

     ক. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি ও প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ কত?

     খ. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

     গ. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে? 

ক. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য X মি. ও প্রস্থ ‍Y মি.

    :. ক্ষেত্রফল = XY বর্গ মি.

    এখন আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পায়।

    :. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ (X এর 10%) মি.

          = (X এর `(10)/(100)`) মি.= `(10X)/(100)` মি.= `X/(10)` মি.

     আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 10% হ্রাস পায়।

    :. প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ (Y এর 10%) মি.

           = (Y এর `(10)/(100)`) মি.= `(10Y)/(100)` মি. = `Y/(10)` মি.

      Ans. `x/(10)` মিটার `y/(10)` মিটার।

  খ. ‘ক’ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে

      দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ `x/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `= (x + x/(10)`) মিটার `= ((10x + x)/(10))` মিটার

Question:১২.> ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য  x মিটার প্রস্থ y মিটার। আয়তক্ষেত্রটির

      দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে--

   ক. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি ও প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ কত?

   খ. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

   গ.আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে? 

ক. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মি. ও প্রস্থ y মি.

    :. ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মি.

    এখন আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্বি পায়।

    :. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পরিমাণ (x এর 10%) মি.

           = (x এর `(10)/(100)`) মি. = `(10x)/(100)` মি. = `x/(10)`

       আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 10% হ্রাস পায়।

        :. প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ (y এর 10%) মি.

           = (y এর `(10)/(100)`) মি. = `(10y)/(100)` মি, = `y/(10)` মি.

        Ans. `x/(10)` মিটার মিটার।

 
   খ. ‘ক’ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে

       দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ `x/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য =` (x + x/(10)) `মিটার = `((10x + x)/(10))`মিটার 

                              = `(11x)/(10) `মিটার

       প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে, প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ `y/(10)` মিটার

      :. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =` (y - y/(10))` মিটার =` ((10y - y)/(10))` মিটার 

                            =` (9y)/(10)` মিটার

        Ans. `(11x)/(10)` মিটার `(9y)/(10)` মিটার।

   গ. ‘খ’ হতে প্রাপ্ত

      আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `(11x)/(10)` মিটার প্রস্থ `(9y)/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `((11x)/(10) xx (9y)/(10))` বর্গ মিটার =` (99xy)/(100)` বর্গ মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় `(xy - (99xy)/(100))` বর্গ মিটার

                                         =` (xy)/(100)`  বর্গ মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার হ্রাস পায় `(xy)/(100)` বর্গ মিটার

        :.     ,,     ,,       ,,   100    ,,         ,,       `(xy xx 100)/(100 xx xy)` 

                                                               = 1 বর্গ মিটার

      আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1% হ্রাস পায়।

      Ans. 1% হ্রাস পায়।

Question:১৩.> a, b, c  তিনটি ক্রমিক সমানুপাতিক রাশি।

   ক. a, b, c এর মধ্যে গাণিতিক সম্পর্কটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ কর।

   খ. `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(b + c)^2` 

     হলে, প্রমাণ কর যে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক।

   গ. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতি সংখ্যার যোগফল 13 এবং গুণফল 27 হলে সংখ্যা 

       তিনটি নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে,

    a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী

   :. `a/b = b/c`

   বা, `b^2 = ac` ইহাই a, b, c এর গাণিতিক সম্পর্ক।

 খ. ‘ক’ হতে পাই,` b^2 = ac`.............(i)

   এখন বামপক্ষ` = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

          ` = (a^2 + ac)/(ac + c^2)`  [নং থেকে]

           `= (a(a + c))/(c(a + c)) = a/c`

  ডানপক্ষ
   ` = ((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

    `= (a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2)` [ (i) নং থেকে]

    `= (a(a + 2b + c))/(c(a + 2b + c)) = a/c`

     :. `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` (প্রমাণিত)


  গ. ‘ক’ থেকে পাই,

    `b^2 = ac`.................(i)

     প্রশ্নমতে, a + b + c = 13.................(ii) 

     এবং abc = 27.........................(iii)     

     ac =` b^2` (iii) সমীকরণ বসিয়ে পাই, 

   `b.b^2` = 27

    বা,`b^3 = 27`

    :. b = 3

    b = 3  হলে, (ii) হতে পাই, 

    a + c = 13 - b

   বা, a + c = 13 - 3

   বা, a + c = 10 ..................(iv)

   b = 3 এর মান (iii) নং এ পাই, ac =` 27/3`

  :. ac = 9 .............(v)

  এখন` (a - c)^2 = (a + c)^2 - 4ac`

 `= (10)^2 - 4.9` [নং ও নং হতে]

  = 100 - 36

  = 64

   :. a - c = 8

   এখন a + c = 10

         a - c  = 8

   ------------------
     2a      = 18  [যোগ করে]

            a = 9 হলে

    9 + c = 10  [(iv) নং হতে]

    :. c = 1

    :. সংখ্যা তিনটি 1, 3 9  (Ans)

Question:১৪.> একটি আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি ও প্রস্থ 10% হ্রাস পায়। আয়তক্ষেত্রটির 

        দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y 

       ক. আয়তক্ষেত্রটির বৃদ্ধিপ্রাপ্ত দৈর্ঘ্য x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

       খ. আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হ্রাস পায়?

       গ. হ্রাসকৃত ক্ষেত্রফলটি শতকরায় প্রকাশ কর। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 10% হ্রাস

          না পেয়ে বৃদ্ধি পেত তবে ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পেত? 

ক. মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক এবং প্রস্থ y একক 

     দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায় x এর 10% `(x xx (10)/(100))` একক `= x/(10)`একক

     :. নতুন দৈর্ঘ্য পরিমাণ `(x + x/(10))` একক `= (11x)/(10)` একক  (Ans)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক ও প্রস্থ y একক

      :. ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক

      এবং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত দৈর্ঘ্যের পরিমাণ =` (11x)/(10)` একক

      আবার প্রস্থ হ্রাস পায় y এর 10% =` (y xx (10)/(100))` একক `= y/(10)` একক

    :. হ্রাস প্রাপ্ত প্রস্থের পরিমাণ `(y - y/(10))` একক =` (9y)/(10)` একক

    :. নতুন ক্ষেত্রফলের পরিমাণ `((11x)/(10) xx (9y)/(10))` বর্গ একক

                                 =` (99xy)/(100)` বর্গ একক

    :. ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় `(xy - (99xy)/(100))` বর্গ একক

                           `= ((100xy - 99xy)/(100))` ,,

                            `= (xy)/(100)` বর্গ একক


   গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই, ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় =` (xy)/(100)` বর্গ একক এবং

      পূর্বের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক।

      :. হ্রাসকৃত ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিমাণ

     = (হ্রাস পাওয়া ক্ষেত্রফল/পূর্বের ক্ষেত্রফল `xx 100`)%

     আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ যদি 10% বৃদ্ধি পেত তাহলে,

     প্রস্থ বৃদ্ধি হত y এর 10% =` (y xx (10)/(100))` একক =` y/(10)` একক

     :. নতুন প্রস্থ হত `= (y + y/(10)` একক =` (11y)/(10)` একক

      আবার ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      10% বৃদ্ধিতে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের পরিমাণ হয় `(11x)/(10)` একক

     :. ক্ষেত্রফল হত `= ((11x)/(10) xx (11y)/(10))` বর্গ একক `= (121xy)/(100)` বর্গ একক

    :. ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেত `= ((121xy)/(100) - xy)` বর্গ একক

                           `= (121xy - 100xy)/(100)` বর্গ একক

                           `= (21xy)/(100)`  বর্গ একক

             Ans. 1%, `(21xy)/(100)` বর্গ একক।